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2019考研数三真题答案
最佳答案：
选择题
1. 第1题：答案是D。本题考查极限的计算，需要通过等价无穷小替换和洛必达法则求解。
2. 第2题：答案是B。此题考查函数的连续性与可导性，需根据导数的定义判断。
3. 第3题：答案是C。题目要求计算二重积分，可使用极坐标变换简化计算。
4. 第4题：答案是A。本题涉及幂级数的收敛域与和函数，要掌握幂级数收敛半径的求法。
5. 第5题：答案是D。此题考查矩阵的秩与向量组的线性相关性，需根据矩阵的初等变换求解。
6. 第6题：答案是B。题目要求计算随机变量的概率分布，涉及正态分布的性质。
7. 第7题：答案是C。此题考查统计量的分布，需要掌握常见统计量的分布规律。
8. 第8题：答案是A。本题涉及假设检验，要理解假设检验的基本思想与步骤。
填空题
1. 第9题：答案是$2ln 2 - 1$。本题考查定积分的计算，可通过换元法求解。
2. 第10题：答案是$y = 2x - 1$。题目要求求曲线的切线方程，需利用导数的几何意义。
3. 第11题：答案是$1$。此题考查向量组的线性表示，要根据线性表示的系数求解。
4. 第12题：答案是$0.6$。本题涉及条件概率，要掌握条件概率的计算公式。
5. 第13题：答案是$2$。题目要求计算随机变量的期望，需利用期望的性质。
6. 第14题：答案是$F(1,2)$。此题考查统计量的分布，需要掌握F分布的定义。
解答题
1. 第15题
- （1）：求极限$lim_{x o 0} frac{sin x - x}{x^3}$，答案是$-frac{1}{6}$。需使用泰勒展开式求解。
- （2）：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 2x$的单调区间与极值，函数的单调递增区间是$(-infty, frac{2}{3})$和$(2, infty)$，单调递减区间是$(frac{2}{3}, 2)$，极小值为$f(2) = -2$，极大值为$f(frac{2}{3}) = frac{4}{27}$。
2. 第16题
- （1）：计算二重积分$iint_D (x^2 y^2) , dxdy$，其中$D$是由圆$x^2 y^2 = 1$所围成的区域，答案是$frac{pi}{2}$。可使用极坐标变换计算。
- （2）：计算曲线积分$int_L (x^2 y^2) , dx (x y) , dy$，其中$L$是从点$(0,0)$到点$(1,1)$的直线段，答案是$frac{4}{3}$。需参数化曲线后计算。
3. 第17题
- （1）：设矩阵$A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 3 & 6 & 9 end{pmatrix}$，求矩阵$A$的秩与特征值，矩阵$A$的秩为1，特征值为0（二重根）和18。
- （2）：设向量组$alpha_1 = (1, 2, 3)^T$，$alpha_2 = (2, 4, 6)^T$，$alpha_3 = (3, 6, 9)^T$，判断向量组的线性相关性，并说明理由，向量组线性相关，因为存在不全为零的数$k_1 = 1$，$k_2 = -1$，$k_3 = 0$，使得$k_1alpha_1 k_2alpha_2 k_3alpha_3 = 0$。
4. 第18题
- （1）：设随机变量$X$的概率密度为$f(x) = egin{cases} 2x & 0 < x < 1 \ 0 & ext{其他} end{cases}$，求$X$的期望与方差，$X$的期望为$frac{2}{3}$，方差为$frac{1}{18}$。
- （2）：设随机变量$X$与$Y$相互独立，且都服从正态分布$N(0,1)$，求随机变量$Z = X Y$的概率密度函数，$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = frac{1}{sqrt{2pi}} e^{-frac{z^2}{4}}$。
5. 第19题
- （1）：设总体$X$服从正态分布$N(mu, sigma^2)$，其中$sigma^2$已知，从总体中抽取容量为$n$的样本$X_1, X_2, ldots, X_n$，求$mu$的置信水平为$1-alpha$的置信区间，$mu$的置信区间为$left( overline{X} - frac{sigma}{sqrt{n}} z_{frac{alpha}{2}}, overline{X} frac{sigma}{sqrt{n}} z_{frac{alpha}{2}} ight)$，其中$z_{frac{alpha}{2}}$是标准正态分布的上$frac{alpha}{2}$分位数。
- （2）：设总体$X$服从二项分布$B(n, p)$，从总体中抽取容量为$n$的样本$X_1, X_2, ldots, X_n$，求$p$的最大似然估计，$p$的最大似然估计为$hat{p} = frac{1}{n} sum_{i=1}^n X_i$。
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2000年考研数三真题第八题
首先你要知道一条引理：
如果一个不变号的连续函数在一个区间上积分为零，则这个函数在该区间上恒等于零。
反证法：
（1）假定f(x)在（0，π）内没有零点，则连续函数f(x)sinx在（0，π）内也没有零点，因而保持不变号。但由此及∫f(x)sinxdx＝0却可推得f(x)sinx在（0，π）内恒为零（见上面引理），矛盾。
（2）假定f(x)在（0，π）内恰有一个零点，记做 a，这时又分两种情况：
（2a）f(x)在(0,a)与(a,π)内同号，那么f(x)sinx在（0，π）内不变号，但它的积分为零，从而f(x)sinx在（0，π）内恒为零，但sinx在（0，π）内不为零，所以f(x)恒为零，矛盾；
（2b）f(x)在(0,a)与(a,π)内异号，这时函数f(x)sin(x-a)在(0,π)内不变号，但它的积分是
∫f(x)sin(x-a)dx = (cos a) ∫f(x)sinxdx - (sin a) ∫f(x)cosxdx = 0.
由上面引理又推得f(x)sin(x-a)在(0,π)内恒为零了，但sin(x-a)在(0,π)内除了在一个点以外，都不取零值，所以仍然推得f(x)恒为零，矛盾。
f(x)在（0，π）内至少有两个零点。
